Ванин неоднократно выигрывал первенства Москвы и Вооруженных Сил. Он двукратный серебряный и двукратный бронзовый призёр чемпионатов СССР, мастер спорта по классической борьбе. В 1954 году борец Алексей Ванин дебютировал в кино в фильме «Чемпион мира», который принёс ему известность.
Начиная с 1998 года Федерация спортивной борьбы России ежегодно проводит Всероссийский юношеский турнир по греко-римской борьбе, на котором вручаются призы имени Алексея Ванина. Вместе со спортивными наградами победителям дарят диски с фильмом «Чемпион мира».
Ванин дружил со своим земляком - писателем, актёром и режиссёром Василием Шукшиным, и снялся у него в фильмах «Ваш сын и брат» и «Калина красная». Вместе товарищи снялись у Сергея Бондарчука в картине «Они сражались за Родину». Среди других киноролей Алексея Ванина фильмы «Поговорим, брат», «Карьера Димы Горина», «Отец и сын», «Вкус хлеба», «Где ты, Багира?», «Вечный зов», «Через тернии к звёздам», «Гардемарины, вперёд!», «Любить по-русски». Дата и место прощания с актёром уточняются.